Vertiefung Analysis

-

intermediate

Ziel des Moduls ist es, einerseits einige der im Modul Einführung in die Analysis gelernten Aspekte und Techniken zu vertiefen, zu verallgemeinern oder auf eine mathematisch rigorosere Basis zu stellen, andererseits einige weitere numerische Verfahren und ihr Konvergenzverhalten kennenzulernen.

Nichtlineare Gleichungen
• Stetige Funktionen auf kompaktem Definitionsbereich: Zwischenwertsatz, Existenz globaler Extremalstellen.
• Numerische Lösung von nicht-linearen Gleichungen wie z.B. Regula Falsi, Sekantenverfahren, Newtonverfahren.
• Polynome: Fundamentalsatz der Algebra, numerische Berechnung der Nullstellen.

Mehr-dimensionale Analysis
• Partielle Ableitung, Gradient.
• Nicht-lineare Gleichungen in mehreren Unbekannten, z.B. (Quasi-) Newtonverfahren.
• Optimierungsverfahren, z.B. Gradienten-Verfahren.

Approximation und Interpolation
• Mittelwertsatz.
• Approximation mit Restterm-Abschätzung, z.B. Taylorapproximation, Regression. - Interpolation (z.B. Splines) sowie deren Anwendung in der Bildverarbeitung.

Ausgewählte Kapitel aus der Numerik und deren Anwendung in der Informatik
• Numerische Berechnung von Integralen.
• Integraltransformationen (z.B. Fouriertransformation) und deren Anwendung in der Bild- oder Signal-Verarbeitung.
• Differenzialgleichungen und deren numerische Integration (inkl. Abschätzung der Fehlerordnung).

Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen Die Studierenden verstehen den Begriff der stetigen Funktionen, den Inhalt des Zwischenwertsatzes und verstehen, wie dieser die Existenz von Lösungen linearer Gleichungen gewährleisten kann. Sie können einige ausgewählte numerische Verfahren zur Näherung von Lösungen anwenden und verstehen die Bedingungen für deren Anwendbarkeit. Mehr-dimensionale Analysis Die Studierenden können partielle Ableitungen und Gradienten von Funktionen in mehreren Variablen analytisch berechnen. Sie verstehen den Begriff der stationären Punkte und deren Bedeutung bei mehrdimensionalen Optimierungsproblemen. Die Studierenden können ausgewählte numerische Verfahren zur Lösung von nicht-linearen Gleichungen in mehreren Variablen oder zur Bestimmung von stationären Punkten in mehrdimensionalen Optimierungsproblemen anwenden. Approximation und Interpolation Die Studierenden verstehen den Satz von Weierstrass, welcher die Existenz der Polynom-Approximation für stetige Funktionen gewährleistet. Sie kennen ausgewählte Näherungs- und Interpolations-Verfahren und können diese in speziellen Beispielen anwenden. Ausgewählte Kapitel aus der Numerik und deren Anwendung in der Informatik In diesem ergänzenden Kapitel sollen die Studierenden an ein weiteres, den angehenden Informatikern nahestehendes Anwendungsgebiet aus der Numerik herangeführt werden. Konkrete Anwendungen sind beispielsweise im Bereich der numerischen Integration oder der Integraltransformationen (Fourier) in der Bild- oder Signalverarbeitung zu finden.

Erfahrungsnote

Geeignet auch als Vorbereitung für ein Masterstudium – MSE an der FHNW oder Master an der ETH.