Mehrdimensionale Analysis

Die Analysis gehört zu den zentralen Grundlagen des technischen Studiums. In diesem Modul werden Funktionen mehrerer Variablen und deren Anwendungen im Maschinenbau behandelt.

1. Funktionen mehrerer Variablen

• Partielle Ableitungen und geometrische Bedeutung

• Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz

• Linearisierung und vollständiges Differenzial

2. Ableitung impliziter Funktionen

• Kettenregel versus vollständiges Differenzial

3. Gradient und Tangentialebene

• Gradient
• Tangentialebene

4. Extremstellen bei mehreren Variablen

• Stationäre Punkte
• Art der Extremstellen

5. Extremwerte mit Nebenbedingungen

• Extremwerte mit Nebenbedingungen

6. Approximation mit minimalem quadratischem Fehler

• Methode der kleinsten Quadrate
• univariate lineare Regression
• multivariate lineare Regression

7. Mehrfache Integrale

• Flächen- und Volumenberechnungen mit Mehrfachintegralen
• Variablensubstitution in einem Mehrfachintegral
• Berechnung von Trägheitsmomenten

8. Vektoranalysis

• Vektorfelder
• Arbeitsintegrale
• Potentialfelder

• Funktionen mehrerer Variablen: Die Studierenden kennen Funktionen mehrerer Variablen und können diese für zwei (drei) Inputvariablen visualisieren. Sie können partielle erste und höhere Ableitungen berechnen und kennen die geometrischen Bedeutungen davon. Sie kennen die Bedeutung des Satzes von Schwarz.

• Ableitung impliziter Funktionen: Die Studierenden können Ableitungen impliziter Funktionen sowohl mit der Kettenregel als auch mit Hilfe des vollständigen Differenzials berechnen.

• Gradient und Tangentialebene: Die Studierenden können den Gradienten einer Funktion mehrerer Variablen berechnen und kennen dessen geometrische Bedeutung. Sie können Funktionen mittels Tangentialebenen approximieren (Linearisierung).

• Extremstellen bei mehreren Variablen: Die Studierenden können von Funktionen mehrerer Variablen stationäre Punkte finden und die Art der Extremstellen bestimmen.

• Extremwerte mit Nebenbedingungen: Die Studierenden können Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen lösen.

• Approximation mit minimalem quadratischen Fehler: Die Studierenden kennen das Prinzip des minimalen quadratischen Fehlers und können dieses anwenden. Sie können eine univariate und multivariate lineare Regressionsrechnung durchführen.

• Mehrfache Integrale: Die Studierenden können mit Hilfe von mehrfachen Integralen Flächen, Volumen und Trägheitsmomente berechnen.

• Vektoranalysis: Die Studierenden kennen das Arbeitsintegral. Sie können entscheiden, ob ein Arbeitsintegral unabhängig vom Weg ist oder nicht und können dieses in beiden Fällen berechnen. Die Studierenden können obige Konzepte auf Probleme der Technik anwenden.

• Tool: Die Studierenden können die im Modul behandelten Inhalte auch mit Hilfe eines Tools wie Python praktisch anwenden.

• Analysis 2 (an2)