Differenzialgleichungen (SG M),

Viele physikalische Zusammenhänge lassen sich durch Grössen beschreiben, welche mit sich selbst rückgekoppelt sind. Die physikalische Grösse hängt dabei von sich und ihrem Änderungsverhalten ab. Dies wird beschrieben durch eine Gleichung, in der die gesuchte Funktion und ihre Ableitung(en) vorkommen. Solche Differentialgleichungen (DGL) und ihre Lösungswege werden in dieser Vorlesung behandelt.

1. Gewöhnliche Differentialgleichungen

• Begriffe und Bedeutung
• Verfahren für DGL 1. Ordnung wie Trennung der Variablen und Variation der Konstanten
• Superpositionsprinzip für lineare DGL 1. und 2. Ordnung
• DGL mit konstanten Koeffizienten

2. Physikalische Anwendungen zum Beispiel:

• Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand
• Randwertprobleme, Eigenwerte und Eigenfunktionen
• Schwingungen, Resonanz (unter anderem beim gedämpften Masse-Feder-Pendel und im RLC-Stromkreis)

3. Systeme von Differentialgleichungen

• DGL höherer Ordnung in ein System 1. Ordnung umwandeln zur numerischen Integration (Euler-Streckenzugverfahren)

4. Partielle Differentialgleichungen

• Begriffe und Bedeutung
• Erste Lösungsverfahren
• Lineare partielle DGL 2. Ordnung (z.B. Wellengleichung, Laplace- und Poissongleichung, Wärmeleitungsgleichung)

• Die Studierenden wissen, was gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen sind.

• Sie kennen Anwendungen und Beispiele von Differenzialgleichungen in der Praxis und wissen um ihre Bedeutung als mathematische Beschreibung von Rückkopplungen und Wechselwirkungen.

• Sie können aus physikalischen Modellen und den zugehörigen Fragestellungen Differenzialgleichungen aufstellen. Zu vorgegebenen Differenzialgleichungen können sie geeignete Lösungsverfahren benennen und damit Lösungen berechnen.

• Gewöhnliche Differenzialgleichungen: Die Studierenden verstehen Differenzialgleichungen als mathematisches Objekt. Sie können Differenzialgleichungen nach den gängigen Begriffen kategorisieren. Sie können gewöhnliche Differenzialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit verschiedenen analytischen Methoden lösen.

• Physikalische Anwendungen: Die Studierenden kennen bedeutende physikalische Anwendungen von Differenzialgleichungen. Sie können für diese Anwendungen Differenzialgleichungen aufstellen und lösen. Die berechneten Resultate können die Studierenden interpretieren.

• Systeme von Differenzialgleichungen: Die Studierenden kennen gekoppelte Differenzialgleichungen. Sie können lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung zu einem System von Differenzialgleichungen erster Ordnung umformen, um damit numerische Lösungen zu finden.

• Partielle Differenzialgleichungen: Die Studierenden kennen die Definition von partiellen Differenzialgleichungen. Sie können partielle Differenzialgleichungen durch verschiedene Ansätze zu mehreren gewöhnlichen Differenzialgleichungen umformen und damit lösen.

• Tool: Die Studierenden können die im Modul behandelten Inhalte auch mit Hilfe eines Tools wie Python praktisch anwenden.

• Analysis 2 (an2)