Vertiefende Themen der Analysis,

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Intermediate

In diesem Modul erlernen Sie die mathematischen Grundlagen zur Handhabung realer Probleme mit mehreren freien Parametern und Randbedingungen:

• Optimierung,
• Datenanalyse und
• Signalverarbeitung



Diese Kenntnisse sind essentiell für Data Science Anwendungen wie die Optimierung von Vorgängen, das Approximieren von Funktionen, die Signalanalyse und -manipulation, der Aufbau und die Funktionsweise neuronaler Netzwerke sowie die Wahl geeigneter Loss- und Evaluationsfunktionen für deren Training.

Um diese Anwendungen zu verstehen, ist die Differenzialrechnung in mehreren Variablen fundamental. Sie ermöglicht die präzise Beschreibung und Analyse von Funktionen in komplexen Systemen und bildet die Basis für viele Optimierungsverfahren und Algorithmen im Machine Learning, wie z.B. der Berechnung von Gradienten und die Implementierung von Backpropagation in neuronalen Netzwerken, welche Sie für ein einfaches Netzwerk in numpy im Detail nachvollziehen werden.

Ein weiterer Schwerpunkt ist die Fouriertransformation, die es ermöglicht, zeit- oder ortsabhängige Daten im Frequenzen aufzuteilen. Sie lernen, wie Sie diese Transformationen einsetzen, um z.B. Datenreihen auszuwerten, Musik zu bearbeiten oder Bilder zu komprimieren. Hierbei werden komplexe Zahlen, Integrale und die Theorie des Funktionenraums behandelt, um eine effiziente und elegante Datenanalyse zu ermöglichen.

Differenzialrechnung von Funktionen in mehreren Variablen

Die Studierenden können die Differenzierbarkeit von Funktionen in mehreren Variablen erklären und relevante Größen berechnen und geometrisch deuten. Die Studierenden können lokale Extremalstellen identifizieren und Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen (Lagrange-Funktion) lösen. Die Studierenden können Gradientenverfahren in praktischen Beispielen anwenden und diese mittels numpy umsetzen.

Anwendung der Optimierung auf neuronale Netzwerke

Die Studierenden verstehen, wie der Backpropagation-Algorithmus im 'Vanilla Gradient Descent' zum Training neuronaler Netzwerke funktioniert. Die Studierenden sind in der Lage, diesen Algorithmus in einfachen Fällen in numpy zu implementieren.

Fouriertransformation

Die Studierenden können geeignete Basisfunktionen identifizieren und anwenden, um Funktionen zu approximieren. Die Studierenden können die Fourierreihe zur Beschreibung und Annäherung von Funktionen anwenden. Die Studierenden verstehen komplexer Zahlen für eine elegantere Beschreibung der Fourierreihe und können diese Form verwenden. Die Studierenden können Amplituden- und Phasenspektren analysieren und interpretieren (Spektralanalyse). Die Studierenden können dieses Verständis mit der numerischen Umsetzung der Fouriertransformation (FFT) in einfachen Fällen anwenden.

Note

Grundlagen der Analysis

Grundlagen der Lineare Algebra

Basismodul