Anwendungen der Linearen Algebra

Eigenvektoren, Eigenwerte und Eigenräume Die Studierenden können die Eigenvektoren, Eigenwerte und Eigenräume von linearen Abbildungen bestimmen, damit Matrizen diagonalisieren und verstehen es, das Eigenwert-Spektrum verschiedener Matrixtypen zur vereinfachten Darstellung von Problemstellungen auszunutzen. Insbesondere verstehen sie auch die Eigenschaften symmetrischer Matrizen diesbezüglich.

Vertiefung lineare Abbildungen und Matrizenalgebra Die Studierenden vertiefen Ihr Wissen über lineare Abbildungen und die damit verbundene Matrizenalgebra und lernen dabei u.a. die Begriffe Bild und Kern, orthogonale Matrix, Spur, quadratische Form / Bilinearform und positive Definitheit kennen. Ebenfalls wird die Exponentialfunktion auf Matrizen erweitert. Mit diesem Wissen können sie lineare Abbildungen in verschiedene Klassen unterteilen und können für Problemstellungen den Klassen entsprechende Lösungsansätze verwenden.

Basistransformationen Die Studierenden können mit dem Gram-Schmitt-Verfahren eine Basis orthonormalisieren und sind imstande, Basiswechsel und Koordinatentransformationen vorzunehmen. Sie kennen Grössen, die invariant unter Basistransformationen sind. In der Data Science wird oft nach einer Basis gesucht, die der Struktur der Daten besser Rechnung trägt als die Standardbasis: so können die Daten möglicherweise besser verstanden und auf einige wenige Dimensionen komprimiert werden.

Normen und Ähnlichkeitsmasse Die Studierenden kennen die üblichen Vektor- und Matrizennormen und ihre Anwendungsbereiche (z.B. Regularisierung). Sie verstehen, was eine Distanz-Metrik ist und wie man auf verschiedene Arten Abstände zwischen Vektoren misst. Weiterhin können sie verschiedene Ähnlichkeitsmasse zwischen Vektoren berechnen, welche zum Beispiel in Clustering-Algorithmen, Recommender Systems und Word Embeddings im Natural Language Processing verwendet werden.

Transfer auf Machine Learning-Algorithmen Die Studierenden sind in der Lage, mit ihrem Wissen die Herleitung einer beispielhaften Auswahl von lineare Algebra–lastigen Methoden des Machine Learning zu durchdringen und diese selbst zu implementieren, konkret für Lineare Regression (Herleitung und Verständnis der Normalengleichung), Page Rank (Repräsentation von Graphen mit Matrizen, Berechnung von Zentralitätsmassen mit Mitteln der linearen Algebra) und Singulärwertzerlegung (Matrixzerlegung und Datenkomprimierung), möglicherweise Anwendung auf Hauptkomponentenanalyse oder Moore-Penrose-Pseudoinverse.