Stochastische Prozesse und Zeitreihen

Ein stochastischer Prozess (auch Zufallsprozess) ist die mathematische Beschreibung von zeitlich (oder räumlich) geordneten, zufälligen Vorgängen. Die Theorie der stochastischen Prozesse stellt eine Erweiterung der Wahrscheinlichkeitstheorie dar. Zeitlich geordnete Daten werden analysiert, charakterisiert und als stochastischen Prozesses modelliert. Mit der Extremwertanalyse werden die Wiederkehr von extremen Werten innerhalb eines Prozesses beschrieben und modelliert. Als letztes wird die Modellierung einer speziellen Kategorie stochastischer Prozesse behandelt: die Markov Prozesse.

Zeitreihenanalyse verstehen Die Studierenden erkennen Zeitreihen und können sie statistisch charakterisieren (Erwartungswert, Varianz, Trend, Stationarität, Ergodizität, Korrelationsstruktur). Sie können den Zusammenhang zwischen mehreren Zeitreihen charakterisieren (Unabhängigkeit, Korrelation) und Zeitreihen in passende Komponenten zerlegen.

Stochastische Prozesse modellieren Die Studierenden können allgemeine stochastische Prozesse mit unterschiedlichen Ansätzen modellieren (Moving Average Modelle, Autoregressive Modelle und ARMA) und Vorhersagen machen. Sie können Komponenten von Zeitreihen mit passenden stochastischen Prozessen modellieren. Die Studierenden kennen spezifische stochastische Prozesse (Bernoulli Prozess, Gaussscher Prozess, Poisson Prozess) und deren Anwendungsbereiche. Sie können diese zur Modellierung von praktischen Fragestellungen anwenden.

Extremwertanalyse Die Studierenden verstehen das Konzept von Extremwerten in stochastischen Prozessen. Sie können die Extremwerte eines stochastischen Prozesses anhand von Daten bestimmen und mit Extremwertverteilungen modellieren.

Markov-Prozesse und Markov-Ketten Die Studierenden verstehen Markov Prozesse und deren Charakterisierung durch Markov Ketten. Sie können für praktische Fragestellungen Markov Ketten definieren (Übergangsmatrix und Anfangszustand) und anhand deren die Eigenschaften der zugrunde liegenden Prozesse bestimmen (Grenzverteilung, Absorptionsverhalten). Sie können eine Markov Kette in eine Simulation einbinden.

Hidden Markov Model Die Studierenden verstehen die Erweiterung eines Markov Models auf Hidden Markov Modelle. Sie kennen die Anwendungsbereiche und können praktische Fragestellungen lösen. Sie verstehen und wenden gängige Algorithmen (Forward, Backward, Viterbi) zielgerichtet an.