Mathematik Vertiefung
Mit Vektoren und Matrizen lassen sich lineare Gleichungssysteme und auch einfache mehrdimensionale Objekte und dazugehörige Richtungsinformationen exakt beschreiben. Die dazugehörigen Rechenmethoden erlauben die effiziente Lösung von typischen Problemen der linearen Algebra und Geometrie. Dieser Problemtyp tritt bei vielen Anwendungen auf, wie z.B. bei der Approximation von Funktionen, in der Statistik und Ökonomie.
Vektor und Vektorgeometrie:
- Geometrischer/algebraischer Vektorbegriff
- Geraden und Ebenen im Raum und ihre Darstellung
- Vektoroperationen und typische Anwendungen, Begriff des Vektorraums, lineare (Un-)Abhängigkeit, Dimension, Basis
Matrizen und lineare Abbildungen
- Zusammenhang von Matrizen und linearen Abbildungen
- reguläre und singuläre Matrizen
- spezielle Matrizen
Lineare Gleichungssysteme
- Additionsverfahren
- Geometrische Interpretation
- Lösbarkeit
- Formulierung als Matrix-Vektor-Gleichung, Zeilenstufenform, Rang einer Matrix, Lösungsraum, Determinante.
Komplexe Zahlen
- Gauss'sche Zahlenebene
- Verschiedene Darstellungsformen
- Rechnen mit komplexen Zahlen
- Anwendung in der Wechselstromtechnik
Anwendungen der linearen Algebra
- Darstellung mit Matrizen, Drehungen und Spiegelungen
- Komposition von linearen Abbildungen
Die Studierenden kennen komplexe Zahlen in ihren verschiedenen Darstellungsformen, können diese visualisieren und mit komplexen Zahlen Berechnungen durchführen (Grundrechenarten, Potenzen).
Die Studierenden kennen Matrizen und deren spezifische Eigenschaften und können mit Matrizen rechnen (nichtkommutative Multiplikation, zwei- und dreireihige Determinanten, Rechenregeln mit Transponierten).
Die Studierenden kennen lineare Gleichungssysteme, können solche aufstellen und lösen; sie können die Lösbarkeit eines Gleichungssystems beurteilen und die Lösungsmenge bestimmen.
Die Studierenden können geometrische Objekte (Geraden, Ebenen) analytisch beschreiben und geometrische Problemstellungen (z.B. Winkel-/Abstandsmessung) im Raum mit Vektoren und Vektoroperationen beschreiben.
Die Studierenden kennen Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Raum, verstehen die Konzepte von Basis und linearer (Un-)Abhängigkeit und können Rechenoperationen mit Vektoren anwenden zur Lösung geometrischer Aufgaben.
Die Studierenden können lineare Abbildungen, insbesondere Drehungen und Spiegelungen, mit Matrizen darstellen und die Abbildung von Punkten durch Matrizenmultiplikation berechnen.
Die Studierenden können anwendungsspezifische Probleme aus verschiedenen Bereichen mit den Methoden der linearen Algebra analysieren, beschreiben und lösen.