Lineare Algebra 2

Im zweiten Modul zur linearen Algebra werden zunehmend komplexe Abbildungen durch Verknüpfung einfacher Bausteine rechnerisch implementiert. Die Charakterisierung von Abbildungen anhand ihrer Symmetrien führt zu Eigenwertproblemen und zur Diagonalisierung von Matrizen. Solche Hauptachsentransformationen kommen nicht nur in der Geometrie oder Mechanik zum Einsatz. Einige Ausblicke werden diskutiert.

• Lineare Abbildungen: Verknüpfung von Abbildungen, Fixpunkte, Drehungen, Spiegelungen, Projektionen, 3D-Grafik
• Matrizen: Flächen- und Volumenänderung bei Abbildungen
• Bilinearformen: Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)
• Eigenwertproblem: Eigenwerte und Eigenvektoren als verallgemeinertes Fixpunktproblem, Diagonalisierung von symmetrischen Matrizen (Hauptachsentransformation)
• Komplexe Zahlen: Darstellung, Grundrechenarten, Potenzen und Wurzeln, Anwendung Impedanzen in Wechselstromschaltungen

• Die Studierenden kennen das Konzept von Linearität bei Funktionen und Abbildungen; Sie können lineare Abbildungen mit Matrizen darstellen, die Bedeutung der Determinante interpretieren und die Verkettung von Abbildungen durch Matrizenmultiplikation berechnen.
• Sie können Drehungen um beliebige Achsen und Spiegelungen an beliebigen Ebenen im Raum mit Python umsetzen und verstehen die 3D-Grafik als Anwendung einer Projektionsmatrix.
• Die Studierenden kennen die von Bilinearformen in zwei Koordinaten beschriebenen Kurven (Kegelschnitte) und deren Eigenschaften.
• Sie können Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen mit Python berechnen und verstehen deren Bedeutung; Sie können symmetrische Matrizen mit Python diagonalisieren.
• Die Studierenden kennen komplexe Zahlen in ihren verschiedenen Darstellungsformen und können damit Berechnungen durchführen.
• Sie können Wechselstromschaltungen mit komplexen Impedanzen darstellen und daraus die technisch relevanten Grössen (Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung) bestimmen.