Analysis 3 (SG EUT),

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intermediate

Die Analysis gehört zu den zentralen Grundlagen des technischen Studiums. In diesem Modul wird die Analysis der ersten Semester ausgebaut und werden wichtige Werkzeuge der Ingenieurmathematik eingeführt.

1. Unendliche Reihen
• Zahlenreihen: geometrische Reihe, harmonische Reihe, Konvergenzkriterien
• Potenzreihen: geometrische Bedeutung, Methoden zur Reihenentwicklung, Konvergenzbereich
• Fourierreihen: periodische Funktionen mittels Fourierreihen beschreiben, Amplituden- und Phasenspektrum
• Anwendungen: Approximation von Funktionen

2. Integraltransformationen
• Auffrischung komplexe Zahlen und Integralrechnung
• Definition Fouriertransformation, Beschreibung nicht periodischer Funktionen durch die Fouriertransformierte, Frequenzspektrum
• Definition Laplacetransformation
• Sätze zur Laplacetransformierten (Linearität, Verschiebungssätze, Streckungssatz, Differentiation und Integration, Multiplikations- und Divisionssatz)
• Rücktransformation
• Diracimpuls, Stoss- und Sprungantwort von Systemen
• Anwendung bei linearen Differentialgleichungen

3. Funktionen mehrerer Variablen
• Partielle Ableitungen und geometrische Bedeutung
• Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz
• Linearisierung und vollständiges Differenzial
• Gradient und Tangentialebene

4. Extremstellen bei mehreren Variablen
• Stationäre Punkte
• Art der Extremstellen
• Extremwerte mit Nebenbedingungen

5. MATLAB
• Potenz- und Fourierreihen in MATLAB (Visualisierung)
• Fourier- und Laplacetransformation und deren Anwendung
• Arbeiten mit Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Unendliche Reihen Die Studierenden kennen die geometrische und die harmonische Reihe. Sie können von einer Zahlenreihe das Konvergenzverhalten bestimmen. Sie können von elementaren Funktionen Taylorreihen berechnen und können von einer Potenzreihe den Konvergenzbereich bestimmen. Die Studierenden können Funktionen durch Taylorpolynome n-ten Grades approximieren. Die Studierenden können periodische Funktionen mittels Fourierreihen beschreiben und sie können zeitabhängige Signale im Frequenzbereich untersuchen. Uneigentliche Integrale und Parameterintegrale Die Studierenden kennen die verschiedenen Arten von uneigentlichen Integralen und können solche berechnen. Sie verstehen das Konzept der Parameterintegrale. Integraltransformation Die Studierenden kennen die Fouriertransformation und können (nicht periodische) Funktionen durch eine Fouriertransformierte beschreiben. Die Studierenden verstehen die Fouriertransformierte als eine Beschreibung von zeitabhängigen Funktionen im Frequenzbereich und verstehen das Konzept des Spektrums. Die Studierenden kennen die Laplacetransformation und können Funktionen durch ihre Laplacetransformierte beschreiben. Die Studierenden verstehen die verschiedenen Beziehungen für die Laplacetransformierten (Linearität, Verschiebung, Dämpfung, usw.) und können diese Konzepte anwenden. Die Studierenden können mit der Laplacetransformation lineare Differentialgleichungen untersuchen und verstehen das Konzept von Stoss- und Sprungantwort bei der Untersuchung von (linearen) Systemen. Analysis mehrerer Variablen Die Studierenden kennen Funktionen mehrerer Variablen und können diese für zwei (drei) Inputvariablen visualisieren. Sie können partielle erste und höhere Ableitungen berechnen und kennen die geometrischen Bedeutungen davon. Sie kennen die Bedeutung des Satzes von Schwarz. Die Studierenden können den Gradienten einer Funktion mit mehreren Variablen berechnen und kennen dessen geometrische Bedeutung. Sie können Funktionen mittels Tangentialebenen approximieren (Linearisierung). Extremstellen bei mehreren Variablen Die Studierenden können von Funktionen mehrerer Variablen stationäre Punkte finden und die Art der Extremstellen bestimmen. Die Studierenden können obige Konzepte auf Probleme der Technik anwenden. CAS (MATLAB) Die Studierenden können die mathematischen Techniken die im Modul behandelt werden auch mit MATLAB anwenden. Sie können Anwendungsaufgaben mit MATLAB lösen und das Tool für Visualisierungen nutzen. Im Weiteren können die Studierenden das Tool für korrektes wissenschaftliches Arbeiten nutzen.

Erfahrungsnote und MSP schriftlich