Grundlagen der Analysis

Jeder iterative Algorithmus kann als Folge betrachtet werden. Das Studium der Folgen und deren Konvergenzeigenschaften ist demnach von enormer Bedeutung für die Behandlung von Rechenverfahren. Folgen sind auch zentral für die Definition von Grenzwerten von Funktionen in kontinuierlichen Variablen - im Speziellen für die Definition der Stetigkeit von Funktionen oder die Definition des Differenzialquotienten.

Die Differenzial- und Integralrechnung sind zentrale Werkzeuge der Analysis, welche in vielen Anwendungen zum Einsatz kommt. Neben dem Verständnis und dem Berechnen von Ableitungen respektive der Integrale wird viel Wert auf Anwendungen gelegt.

In Hinblick auf die Anwendungen, wird neben der analytischen Behandlung auch viel Aufmerksamkeit auf numerische Verfahren und deren Umsetzung in Python gelegt.

Konvergenz und Grenzwerte Die Studierenden können Konvergenzeigenschaften und Grenzwert von einfachen Zahlenfolgen bestimmen - insbesondere auch von Folgen, welche iterative Lösungsverfahren definieren (z.B. Heron Verfahren). Ausserdem können sie den Grenzwert von Funktionen an ausgewählten Fällen berechnen und können damit auch die Stetigkeit von Funktionen untersuchen.

Differenzialrechnung in einer Variablen und Anwendungen Die Studierenden kennen und verstehen die Definition des Differenzialquotienten als Steigung der Tangente. Sie kennen die Ableitungen der Grundfunktionen und können mit Hilfe der Ableitungsregeln die in der Data Science gebräuchlichen Funktionen ableiten. Ausserdem kennen sie die Bedeutung höherer Ableitungen und können diese berechnen.
Die Studierenden kennen einige erste Anwendungen von Differenzialrechnung - insbesondere können sie einfache Extremwertaufgaben lösen, Funktionen lokal linearisieren, kennen mit dem Newtonverfahren ein wichtiges numerisches Verfahren, um Nullstellen von nichtlinearen Funktionen anzunähern, schliesslich die Taylor-Approximation und wissen wie sie den Approximations-Fehler abschätzen können.

Integrieren und Anwendungen Die Studierenden kennen den Begriff des unbestimmten Integrals (Stammfunktion) als Umkehrung der Differentiation und können mit Hilfe der verschiedenen Integrationsregeln die Stammfunktionen einiger Funktionen bestimmen. Sie kennen den Begriff des bestimmten Integrals (Riemann'sches Integral) und können dieses sowohl analytisch als auch numerisch für entsprechende Anwendungsprobleme berechnen.

Python in der Analysis Die Studierenden kennen die für die Anwendung wichtigsten Datenstrukturen (numpy-Arrays) und wissen, wie sie diese mit Hilfe der numpy-Bibliothek manipulieren und verarbeiten können. Ausserdem wissen sie, wie sie matplotlib für die Visualisierung von Folgen und Funktionen anwenden können. Schliesslich können sie mit Hilfe der sympy-Bibliothek Grenzwerte, Ableitungen und Integrale symbolisch berechnen, sowie Gleichungen und Gleichungssysteme symbolisch lösen.