Mathematik 4 (advanced Analysis)
In diesem Modul werden Themen der Analysis der ersten Semester ausgebaut und damit wichtige Werkzeuge der Ingenieurmathematik entwickelt, die in technischen Anwendungen von zentraler Bedeutung sind.
Unendliche Reihen
- geometrische Reihe, Taylor-Reihe
- Fourierreihen: periodische Funktionen mittels Fourierreihen beschreiben, Exponentialdarstellung, Amplituden- und Phasenspektrum
- Anwendungen: Approximation von Funktionen
Integraltransformationen
- Definition Fouriertransformation, Beschreibung nicht periodischer Funktionen durch die Fouriertransformierte, Frequenzspektrum
- Definition Laplacetransformation
- Sätze zur Laplacetransformierten (Linearität, Differentiation und Integration)
- Rücktransformation
- Diracimpuls, Stoss- und Sprungantwort von Systemen
- Anwendung bei linearen Differentialgleichungen
Funktionen mehrerer Variablen
- Partielle Ableitungen und geometrische Bedeutung
- Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz
- Linearisierung und vollständiges Differenzial
- Gradient und Tangentialebene
Extremstellen bei mehreren Variablen
- Stationäre Punkte
- Art der Extremstellen
- Anwendung: Lineare Regression
Python
- Arbeiten mit Funktionen mehrerer Veränderlichen
- Taylor- und Fourierreihen in python (Visualisierung)
- Fourier- und Laplacetransformation und deren Anwendung
Unendliche Reihen
Die Studierenden kennen die geometrische Reihe und können deren Konvergenzverhalten bestimmen. Sie können für elementaren Funktionen Taylorreihen berechnen und periodische Funktionen mittels Fourierreihen beschreiben.
Integraltransformation
Die Studierenden kennen die Fouriertransformation und können (nicht periodische) Funktionen durch eine Fouriertransformierte beschreiben. Die Studierenden verstehen die Fouriertransformierte als eine Beschreibung von zeitabhängigen Funktionen im Frequenzbereich und verstehen das Konzept des Spektrums. Die Studierenden kennen die Laplacetransformation und können Funktionen durch ihre Laplacetransformierte beschreiben. Die Studierenden können mit der Laplacetransformation lineare Differentialgleichungen untersuchen und verstehen das Konzept von Stoss- und Sprungantwort bei der Untersuchung von (linearen) Systemen.
Analysis mehrerer Variablen
Die Studierenden kennen Funktionen mehrerer Variablen und können diese für zwei (drei) Inputvariablen visualisieren. Sie können partielle erste und höhere Ableitungen berechnen und kennen die geometrischen Bedeutungen davon. Sie kennen die Bedeutung des Satzes von Schwarz. Die Studierenden können den Gradienten einer Funktion mit mehreren Variablen berechnen und kennen dessen geometrische Bedeutung. Sie können Funktionen mittels Tangentialebenen approximieren (Linearisierung).
Extremstellen bei mehreren Variablen
Die Studierenden können von Funktionen mehrerer Variablen stationäre Punkte finden und die Art der Extremstellen bestimmen. Die Studierenden können obige Konzepte auf Probleme der Technik anwenden.
Python
Die Studierenden können die mathematischen Techniken, die im Modul behandelt werden, auch mit Python anwenden. Sie können Anwendungsaufgaben mit Python lösen und das Tool für Visualisierungen nutzen.