Modellieren dynamischer Systeme,

Damit technisch-physikalische Systeme möglichst adäquat dimensioniert und geregelt werden können, ist es unerlässlich, das dynamische Verhalten derartiger Systeme gut vorherzusagen. Dieses Modul zeigt auf, wie dies mit exakten und numerischen Methoden gelingt.

Modellierung:

• Finden von Bilanzgleichungen oder relevanten physikalischen Gesetzen und geeigneten Annahmen für den zu modellierenden Prozess
• Aufstellen der zugehörigen Differenzialgleichung

Klassifikation von Differenzialgleichungen:

• Dimension
• Ordnung
• Linearität
• Homogenität

Graphische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung:

• Richtungsfeld
• Lösungskurven

Numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen:

• Verfahren von Euler-Cauchy
• Verfahren von Heun
• Klassisches Runge-Kutta Verfahren
• Umwandlung einer Differenzialgleichung höherer Ordnung in ein System von Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Analytische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen:

• Trennung der Variablen
• Variation der Konstanten
• Geeigneter Ansatz bei linearen Differenzialgleichungen mit Diskussion von Resonanzphänomenen
• Lösung ausgewählter gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit einem Computer-Algebra System

Approximative Methoden:

• Stationäre Lösung
• Linearisierung

Die obigen Inhalte werden dabei an ausgewählten Problemstellungen illustriert (Ausflussprobleme, mechanischen Feder-Masse Systemen, elektrischen RCL-Systemen oder einfachen thermischen Systemen.

• Modellierung: Die Studierenden können ausgewählte Gesetze der Physik als Input verwenden, und mit weiteren Annahmen die zugehörige Differenzialgleichung herleiten.

• Klassifikation von Differenzialgleichungen: Die Studierenden sind in der Lage, eine gegebene Differenzialgleichung gemäss den Kriterien Dimension (gewöhnlich vs. partiell), Ordnung, linear und homogen einzuordnen.

• Graphische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung: Die Studierenden sind mit den Begriffen Richtungsfeld und Lösungskurven für derartige Differenzialgleichungen vertraut, und sie können diese graphischen Elemente für gegebene Differenzialgleichungen darstellen. Weiter können sie ein Richtungsfeld der zugehörigen Differenzialgleichung zuordnen.

• Numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen: Die Studierenden wissen, was es heisst, eine Differenzialgleichung numerisch zu lösen. Dazu kennen sie die Verfahren von Euler-Cauchy und Heun sowie das klassische Runge-Kutta Verfahren. Sie sind imstande, eine gegebene Differenzialgleichung 1. Ordnung mit Hilfe dieser Verfahren numerisch zu lösen. Weiter können sie eine Differenzialgleichung höherer Ordnung in ein System von Differenzialgleichungen 1. Ordnung umwandeln und wissen, wie dann die obigen numerischen Methoden anzuwenden sind.

• Analytische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen: Die Studierenden kennen das Prinzip der Trennung der Variablen und können dieses zur Lösung geeigneter Differenzialgleichungen anwenden. Für lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung kennen die Studierenden das Lösungskonzept «Variation der Konstanten». Für lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten kennen sie den richtigen Lösungsansatz und können damit die Lösungsmenge bestimmen. Die Studierenden kennen die Schwingungsgleichung (frei und erzwungen) und verstehen das Prinzip der Resonanz.

• Approximative Methoden: Die Studierenden können für geeignete nichtlineare Differenzialgleichungen stationäre Lösungen berechnen und mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung die jeweils zugehörige linearisierte Differenzialgleichung bestimmen. Tool Die Studierenden können die im Modul behandelten Inhalte auch mit Hilfe eines Tools wie Python praktisch anwenden.

• Analysis 2 (an2)
• Algebra (alg)
• Mechanik (mech), gleichzeitiger Besuch