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Modulbeschreibung - Modellieren dynamischer Systeme

Nummer
mds
ECTS 3.0
Anspruchsniveau intermediate
Inhaltsübersicht Damit technisch-physikalische Systeme möglichst adäquat dimensioniert und geregelt werden können, ist es unerlässlich, das dynamische Verhalten derartiger Systeme gut vorherzusagen. Dieses Modul zeigt auf, wie dies mit exakten und numerischen Methoden gelingt.

    1. Modellierung
  • Finden von Bilanzgleichungen oder relevanten physikalischen Gesetzen und geeigneten Annahmen für den zu modellierenden Prozess
  • Aufstellen der zugehörigen Differenzialgleichung

    2. Klassifikation von Differenzialgleichungen
  • Dimension
  • Ordnung
  • Linearität
  • Homogenität

    3. Graphische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung
  • Richtungsfeld
  • Isoklinen

    4. Numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
  • Verfahren von Euler-Cauchy
  • Verfahren von Heun
  • Klassisches Runge-Kutta Verfahren
  • Umwandlung einer Differenzialgleichung höherer Ordnung in ein System von Differenzialgleichungen 1. Ordnung

    5. Simulink
  • Blockdarstellung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung
  • Bestimmung und Darstellung der numerischen Lösung
  • Kommunikation zwischen MATLAB und SIMULINK (Ansteuerung eines Simulink-Modells durch ein Matlab-Skript)

    6. Analytische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
  • Trennung der Variablen
  • Variation der Konstanten
  • Geeigneter Ansatz bei linearen Differenzialgleichungen mit Diskussion von Resonanzphänomenen
  • Lösung ausgewählter gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit einem Computer-Algebra System

    7. Approximative Methoden
  • Stationäre Lösung
  • Linearisierung

Die obigen Inhalte werden dabei an ausgewählten Problemstellungen illustriert (Ausflussprobleme, mechanischen Feder-Masse Systemen, elektrischen RLC-Systemen oder einfachen thermischen Systemen).
Lernziele Modellierung
Die Studierenden können ausgewählte Gesetze der Physik als Input verwenden, und mit weiteren Annahmen die zugehörige Differenzialgleichung herleiten.

Klassifikation von Differenzialgleichungen
Die Studierenden sind in der Lage, eine gegebene Differenzialgleichung gemäss den Kriterien Dimension (gewöhnlich vs. partiell), Ordnung, linear und homogen einzuordnen.

Graphische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Die Studierenden sind mit den Begriffen Richtungsfeld und Isoklinenschar für derartige Differenzialgleichungen vertraut, und sie können diese Objekte für gegebene Differenzialgleichungen darstellen. Weiter können sie entsprechende Zuordnungen durchführen.

Numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
Die Studierenden wissen, was es heisst, eine Differenzialgleichung numerisch zu lösen. Dazu kennen sie die Verfahren von Euler-Cauchy und Heun oder das klassische Runge-Kutta Verfahren. Sie sind imstande, eine gegebene Differenzialgleichung 1. Ordnung mit Hilfe dieser Verfahren numerisch zu lösen. Weiter können sie eine Differenzialgleichung höherer Ordnung in ein System von Differenzialgleichungen 1. Ordnung umwandeln und wissen, wie dann die obigen numerischen Methoden anzuwenden sind.

Simulink / Matlab
Die Studierenden können die mathematischen Techniken die im Modul behandelt werden auch mit MATLAB anwenden. Sie können Anwendungsaufgaben mit MATLAB lösen und das Tool für Visualisierungen nutzen.
Die Studierenden können Differenzialgleichungen in ein Simulink-Modell transformieren und umgekehrt. Weiter sind sie in der Lage, mit einem Simulink-Modell numerische Lösungen zu bestimmen und dieses mit einem Matlab-Skript extern anzusteuern.

Analytische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen
Die Studierenden kennen das Prinzip der Trennung der Variablen und können dieses zur Lösung geeigneter Differenzialgleichungen anwenden. Für lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung kennen die Studierenden das Lösungskonzept «Variation der Konstanten». Für lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten kennen sie den richtigen Lösungsansatz und können damit die Lösungsmenge bestimmen. Die Studierenden kennen die Schwingungsgleichung (frei und erzwungen) und verstehen das Prinzip der Resonanz.

Approximative Methoden
Die Studierenden können für geeignete nichtlineare Differenzialgleichungen stationäre Lösungen berechnen und mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung die jeweils zugehörige linearisierte Differenzialgleichung bestimmen.
Empfohlene Vorkenntnisse

  • Analysis 2 (an2)
  • Algebra (alg)
  • Mechanik (mech), gleichzeitiger Besuch

Leistungsbewertung Erfahrungsnote
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